Об оценке малых вероятностей при помощи обобщенного распределения экстремальных значений

 УДК 621.391.2

Автореферат

В кратком сообщении предлагается алгоритм определения параметров обобщенного распределения экстремальных значений, с помощью которого можно оценить пороговый уровень при заданной вероятности ложной тревоги. Эта задача часто возникает при моделировании радиотехнических систем на ЭВМ.

Один из параметров распределения оценивается методом моментов, два других - методом максимального правдоподобия. Применение этого алгоритма позволяет в несколько раз уменьшить объем испытаний по сравнению с прочими известными алгоритмами. Приводятся сравнительные характеристики погрешности предлагаемого и одного из известных алгоритмов.

Краткое сообщение

1. При моделировании радиотехнических систем на ЭВМ часто возникает необходимость по небольшому числу испытаний оценить вероятность появления редкого события, например, ложной тревоги. Применение в этих случаях специальных статистических методов обеспечивает значительный выигрыш в числе испытаний по сравнению с непосредственной оценкой [1].

Пусть случайная величина X имеет плотность вероятностей f(x) и распределение F(x), тогда для оценки вероятности p(x₀)=1-F(x₀) превышения порога x₀ объем испытаний должен быть порядка 10/p(x₀)[1]. Объем испытаний можно уменьшить на порядок, если использовать для оценки p(x₀) асимптотическое распределение экстремальных значений, и на два порядка при использовании обобщенного (трехпараметрического) распределения, предложенного в [2]. Оба метода основаны на разбиении выборки на группы по n элементов в каждой группе и последующему поиску экстремума в группе. При p(x₀) ≤ 10² и распределении F(x) экспоненциального типа оценка p(x₀) [2] имеет вид:

(1)

2. Метод оценки параметров , описанный в [3], в практических приложениях дает значительную погрешность по следующим причинам:

а) процедура определения оценки как производной от функции по двум точкам n₁,n₂ весьма груба и чувствительна к способу разбиения исходной выборки на группы, из которых извлекаются экстремумы;

б) последующее применение метода максимального правдоподобия (ММП) к отысканию оценки d_n позволяет определить точку максимального правдоподобия в сечении, определяемом положением , далеком от истинного значения экстремума.

Для устранения отмеченных недостатков целесообразно применить ММП. Однако, ввиду овражного характера функции правдоподобия, применение стандартных (градиентных) методов поиска экстремума оказывается неэффективным. Поэтому в приведенном ниже алгоритме предлагается определять ММП два параметра и d_n, оценивая характеристический экстремум u_n методом моментов [4], поскольку, как показали результаты моделирования, погрешность такой оценки  составляет несколько процентов.

Предлагаемый алгоритм основан на комбинации метода «золотого сечения» [5] и метода Ньютона для решения нелинейного уравнения (см. приложение). При необходимости возможно дальнейшее уточнение оценок градиентными методами по всем трем параметрам.

3. Для сравнения эффективности предлагаемого метода и метода, предложенного в [3], проводилось вероятностное моделирование на ЭВМ. Параметры вычислялись по выборке объема k=4000 при различных разбиениях выборки на группы. По полученным оценкам с помощью (1) определялся пороговый уровень  для заданной вероятности p(x₀). Усредненное по 30 экспериментам значение сравнивалось с точным значением порога, определяемым по уравнению . Точность оценивалась относительной погрешностью и относительным стандартным отклонением . Результаты моделирования для нормального распределения представлены на рис. 1.

Рис. 1. Относительная погрешность оценки порогового уровня в зависимости от размера n группы для двух алгоритмов. Штриховая линия - алгоритм из [3], сплошная линия - предлагаемый алгоритм.

Предлагаемый метод дает заметно меньшую погрешность в определении порога по сравнению с методом [3] и, кроме того, обладает меньшей чувствительностью к разбиению выборки на группы. Несмотря на большую сложность предложенного метода, затраты машинного времени на его реализацию по сравнению с [3] возросли незначительно: при объеме контрольной выборки k = 10⁴ оно составило 40 с на ЭВМ ЕС-1022.

Алгоритм оценивания параметров

А. Предварительный этап

1. Выборку  разбить на N групп по n элементов в каждой (k=N*n) и выбрать максимальные значения в каждой группе.

2. Определить оценки параметров , методом моментов [4]:

, , , ,  (постоянная Эйлера).

3. Выбрать границы возможного изменения параметра (для широкого класса распределений 1 ≤ ≤ 2); обозначить левую и правую границы ₁, ₄; вычислить промежуточные точки методом «золотого сечения»:

, , .

4. В каждой из точек найти ММП оценку параметра . В качестве начального приближения выбрать , уточнение осуществить методом Ньютона для уравнения
, где

(Решение уравнения определяется с точностью до 0,1 % за 1-2 итерации).

5. В найденной таким образом точке ( , , ) вычислить значение логарифма функции правдоподобия

B. Итерационный цикл

1. Сузить интервал изменения , отбросив отрезок [τ₁, τ₂] в случае W₂ < W₃ или отрезок [τ₃, τ₄] в случае W₂ ≥ W₃.

Произвести необходимую пересылку.

2. Провести одно дополнительное сечение (п. А3) по параметру в новых границах.

3. Выполнить пп. А4, А5 для нового сечения.

4. Повторить итерационный цикл, пока не будет выполнено условие |τ₁ - τ₄| < l, где l - наперед заданная константа порядка 0,1.

5. При выходе из цикла точка максимума функции правдоподобия будет находиться внутри прямоугольника:
(τ₁, ) (τ₁, ) (τ₄, ) (τ₄, )

Литература

1. Экстремальные статистики и машинное моделирование в применении к системам с кодово-импульсной модуляцией. E. Biglierri и др. - Экспресс-информация, серия «Радиолокация, телевидение, радиосвязь, № 30, 1971, стр. 14-35.
2. Weinstein S. Теория и применение некоторых классических и обобщенных асимптотических распределений экстремальных значений. - IEEE Trans IT-19, № 2, стр. 148.
3. Филимонов В. А. Оценка малых вероятностей при помощи обобщенного распределения экстремальных значений. - Радиотехника и электроника, 1978, № 2, том XXIII, стр. 451-454.
4. Гумбель Э. Экстремальные статистики. - М.: Мир, 1965.
5. Батищев Д. И. Поисковые методы оптимального проектирования. - М.: Сов. радио, 1975, стр. 54-56.